Question

（2008•如東縣三模）在（2x-3y）¹⁰的展開(kāi)式中，求：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；
（2）各項(xiàng)系數(shù)的和；
（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和
（4）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和
（5）x的奇次項(xiàng)系數(shù)和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的定義可得二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

0 10

+

C

1 10

+…

C

10 10

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）令x=y=1，可得各項(xiàng)系數(shù)和．
（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

0 10

+

C

2 10

+…

C

10 10

，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

1 10

+

C

3 10

+…

C

9 10

．
（4）在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，令x=y=1，得a₀+a₁+…+a₁₀=1，令x=1，y=-1，得a₀-a₁+…+a₁₀=5¹⁰，
兩式相加除以2求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．
（5）由（4）可得x的奇次項(xiàng)的系數(shù)為a₁+a₃+…+a₉的值．

解答：解：（1）二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

0 10

+

C

1 10

+…

C

10 10

=2¹⁰．
（2）令x=y=1，各項(xiàng)系數(shù)和為（2-3）¹⁰=（-1）¹⁰=1．
（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

0 10

+

C

2 10

+…

C

10 10

=2⁹，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

1 10

+

C

3 10

+…

C

9 10

=2⁹．
（4）設(shè)（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+…+a10y10，令x=y=1，得a₀+a₁+…+a₁₀=1，
令x=1，y=-1，得a₀-a₁+…+a₁₀=5¹⁰，兩式相加可得a₀+a₂+…+a₁₀=

1+510

2

，a₁+a₃+…+a₉=

1-510

2

，
故奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為

1+510

2

．
（5）由（4）可得x的奇次項(xiàng)的系數(shù)為a₁+a₃+…+a₉=

1-510

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開(kāi)
式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于中檔題．