Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于直線l₁，垂足為點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）設(shè)C₂與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R，S在C₂上，且滿足

QR

•

RS

=0，求|

QS

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由離心率為

3

3

，求出a，b，c的關(guān)系，再利用直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切，求出b即可求橢圓C₁的方程；
（2）把題中條件轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)M的軌跡是以l₁：x=-1為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線，即可求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）先設(shè)出點(diǎn)R，S的坐標(biāo)，利用

QR

•

RS

=0求出點(diǎn)R，S的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再用點(diǎn)R，S的坐標(biāo)表示出|

QS

|，利用函數(shù)求最值的方法即可求|

QS

|的取值范圍．

解答：解：（1）由e=

3

3

得2a²=3b²，又由直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，
得b=

2

，a=

3

，∴橢圓C₁的方程為：

x2

3

+

y2

2

=1．（4分）
（2）由MP=MF₂得動點(diǎn)M的軌跡是以l₁：x=-1為準(zhǔn)線，
F₂為焦點(diǎn)的拋物線，∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為y²=4x．（8分）
（3）Q（0，0），設(shè)R(

y 2 1

4

，y1)，S(

y 2 2

4

，y2)，
∴

QR

=(

y 2 1

4

，y1)，

RS

=(

y 2 2 - y 2 1

4

，y2-y1)，
由

QR

•

RS

=0，得

y 2 1 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y1(y2-y1)=0，∵y₁≠y₂
∴化簡得y2=-y1-

16

y1

，（10分）
∴

y

2 2

=

y

2 1

+

256

y 2 1

+32≥2

256

+32=64（當(dāng)且僅當(dāng)y₁=±4時等號成立），
∵|

QS

|=

( y 2 2 4 )2+ y 2 2

=

1

4

( y 2 2 +8)2-64

，
又∵y₂²≥64，∴當(dāng)y₂²=64，即y₂=±8時|

QS

|min=8

5

，
∴|

QS

|的取值范圍是[8

5

，+∞)．（13分）

點(diǎn)評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當(dāng)直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立讓對應(yīng)方程的判別式為0求解．