Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3），其中a為常數(shù)．
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=ax³-3x²
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f'（1）=0，
∴a=2．
（II）①當(dāng)a=0時(shí)
f（x）=-3x²在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)
∴a=0符合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，f'（x）=3ax（x-），令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=
當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合題意）
當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x∈（，0）時(shí)f'（x）≥0，
∴≤-1，∴-2≤a＜0（符合題意）
綜上所述，a≥-2．
分析：（I）由x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)則知f'（1）=0，代入導(dǎo)函數(shù)即可求a的值；
（II）要求函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)，則要求導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間（-1，0）大于等于零即可，另外要注意對(duì)a的討論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及證明，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．另外還有分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．