Question

設(shè)a_n為等差數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和．已知a₃=3，S₁₀=55
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若bn=

1

anan+2

，b_n的前n項(xiàng)和T_n，求證：T＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}中，由a₃=3，S₁₀=55，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式建立方程組，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（2）由（1）知bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項(xiàng)求和法先求出T_n=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，由此能夠證明Tn＜

3

4

．

解答：（1）解：設(shè)等差數(shù)列a_n的公差為d，依題意，
得

a1+2d=3 10a1+ 10×9 2 d=55

，
解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）證明：由（1）知bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∵

1

n+1

+

1

n+2

＜0，
∴

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

，
∴Tn＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．