精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
在平面直角坐標系xOy中，動點P到兩點(-
3
 ， 0)，(
3 
， 0)的距離之和等于4，設點P的軌跡為曲線C，直線l過點E（-1，0）且與曲線C交于A，B兩點．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，說明理由．
（共13分）
（1）由橢圓定義可知，
點P的軌跡C是以(-
3
 ， 0)，(
3 
， 0)為焦點，長半軸長為2的橢圓．…（3分）
故曲線C的方程為
x2
4
+y2=1． …（5分）
（2）存在△AOB面積的最大值．…（6分）
因為直線l過點E（-1，0），設直線l的方程為 x=my-1或y=0（舍）．
則
x2
4
+y2=1
x=my-1.

整理得 （m2+4）y2-2my-3=0．…（7分）
由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．
設A（x1，y1），B（x2，y2）．
解得y1=
m+2
m2+3
m2+4
，y2=
m-2
m2+3
m2+4
．
則 |y2-y1|=
4
m2+3
m2+4
．
因為S△AOB=
1
2
|OE|•|y1-y2|
=
2
m2+3
m2+4
=
2
m2+3
+
1
m2+3
． …（10分）
設g(t)=t+
1
t
，t=
m2+3
，t≥
3
．
則g（t）在區(qū)間[
3
，+∞)上為增函數．
所以g(t)≥
4
3
3
．
所以S△AOB≤
3
2
，
當且僅當m=0時取等號，即(S△AOB)max=
3
2
．
所以S△AOB的最大值為
3
2
．…（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數方程（以t為參數）及普通方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案