Question

過(guò)拋物線y²=2Px（P＞0）的對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)A（a，0）（a＞0）的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，自M，N向直線l：x=-a作垂線，垂足分別為M₁，N₁．
（1）當(dāng)a=

P

2

時(shí)，求證：AM₁⊥AN₁；
（2）記△AMM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面積分別為S₁，S₂，S₃，是否存在λ，使得對(duì)任意的a＞0，均有 S₂²=λS₁?S₃成立，若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=

p

2

時(shí)，如圖所示，設(shè)M(

y 2 1

2p

，y1)，N(

y 2 2

2p

，y2)．則M1(-

p

2

，y1)，N1(-

P

2

，y2)，A(

p

2

，0)．由題意可設(shè)直線MN的方程為my+

p

2

=x，與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系．只要證明

AM1

•

AN1

=0即可．
（2）假設(shè)存在λ，使得對(duì)任意的a＞0，均有 S₂²=λS₁?S₃成立．設(shè)M(

y 2 1

2p

，y1)，N(

y 2 2

2p

，y2)．則M₁（-a，y₁），N₁（-a，y₂），不妨設(shè)y₁＞0．設(shè)直線MN：my+a=x，與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，用坐標(biāo)分別表示S₁，S₂，S₃．利用 S₂²=λS₁?S₃成立即可得出λ．

解答：解：（1）當(dāng)a=

p

2

時(shí)，如圖所示，設(shè)M(

y 2 1

2p

，y1)，N(

y 2 2

2p

，y2)．則M1(-

p

2

，y1)，N1(-

P

2

，y2)，A(

p

2

，0)．
則

AM1

•

AN1

=（-p，y₁）•（-p，y₂）=p²+y₁y₂．（*）
設(shè)直線MN的方程為my+

p

2

=x，聯(lián)立

my+ p 2 =x y2=2px

，化為y²-2pmx-p²=0．
∴y1y2=-p2．
代入（*）可得

AM1

•

AN1

=p²-p²=0．
∴AM₁⊥AN₁；
（2）假設(shè)存在λ，使得對(duì)任意的a＞0，均有 S₂²=λS₁?S₃成立．
設(shè)M(

y 2 1

2p

，y1)，N(

y 2 2

2p

，y2)．則M₁（-a，y₁），N₁（-a，y₂），不妨設(shè)y₁＞0．
設(shè)直線MN：my+a=x，聯(lián)立

x=my+a y2=2px

，化為y²-2pmy-2pa=0．
∵△＞0成立，∴y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2pa．
S₁=

1

2

|MM1|y1=

1

2

(

y 2 1

2p

+a)y1，
同理S₃=

1

2

(

y 2 2

2p

+a)(-y2)，S2=

1

2

×2a×|y1-y2|．
∴S₁S₃=

1

4

(-y1y2)(

y 2 1

2p

+a)(

y 2 2

2p

+a)=-

1

4

y1y2[

y 2 1 y 2 2

4p2

+

a

2p

(

y

2 1

+

y

2 2

)+a2]=

2pa

4

[

4p2a2

4p2

+

a

2p

(4p2m2+4pa)+a2]=pa²（pm²+2a）．

S

2 2

=a2[(y1+y2)2-4y1y2]=a²（4p²m²+8pa）=4pa²（pm²+2a），
∴4pa²（pm²+2a）=λpa²（pm²+2a），解得λ=4．
故存在λ=4，使得對(duì)任意的a＞0，均有 S₂²=λS₁?S₃成立．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．