Question

已知拋物線y=-

x2

2

與過點(diǎn)M（0，-1）的直線l相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)．若OA和OB的斜率之和為1．
（1）求直線l的方程； 
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的方程為y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)關(guān)系，再利用斜率計算公式及OA和OB的斜率之和為1．即可得出k．
（2）解法1：利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|x1-x2|=

4k2+8

=2

3

，|OM|=1．再利用S△AOB=

1

2

|x1-x2| |OM|=

3

即可．
解法2：利用弦長公式|AB|=

1+K2

|x1-x2|=

1+K2

4k2+8

=2

6

．及點(diǎn)到直線的距離公式可得h=

1

2

．利用S△AOB=

1

2

|AB|•h=

3

．即可．

解答：解：（1）顯然直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-1 y=- x2 2

得x²+2kx-2=0，
∴x₁+x₂=-2k，x₁x₂=-2．
∵

y1

x1

+

y2

x2

=1，
∴

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=2k-

x1+x2

x1x2

=2k-

-2k

-2

=1，解得k=1
所以直線l的方程為y=x-1．
（2）解法1：∵|x1-x2|=

4k2+8

=2

3

，|OM|=1．
∴S△AOB=

1

2

|x1-x2| |OM|=

3

．
解法2：∵|AB|=

1+K2

|x1-x2|=

1+K2

4k2+8

=2

6

．
h=

1

2

．
S△AOB=

1

2

|AB|•h=

3

．

點(diǎn)評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、弦長公式及其三角形的面積計算公式扥公式解題的關(guān)鍵．