在△ABC中，已知A（1，4），B（4，1），C（0，-4），若P為△ABC所在平面一動點，則
PA
•
PB
+
PB
•
PC
+
PC
•
PA
的最小值是（　　）
分析：設(shè)P的坐標為（x，y），向量
PA
、
PB
、
PC
的坐標關(guān)于x、y的坐標形式，從而算出
PA
•
PB
、
PB
•
PC
和
PC
•
PA
關(guān)于x、y的表達式，進而得到
PA
•
PB
+
PB
•
PC
+
PC
•
PA
=3x2+3y2-10x-2y-12，再用配方法結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法，即可算出所求的最小值．
解答：解：設(shè)P（x，y），可得
PA
=（1-x，4-y），
PB
=（4-x，1-y），
PC
=（-x，-4-y）
∴
PA
•
PB
=（1-x）（4-x）+（4-y）（1-y）=x2+y2-5x-5y+8
PB
•
PC
=（4-x）（-x）+（1-y）（-4-y）=x2+y2-4x+3y-4
PC
•
PA
=（1-x）（-x）+（4-y）（-4-y）=x2+y2-x-16
因此，
PA
•
PB
+
PB
•
PC
+
PC
•
PA
=3x2+3y2-10x-2y-12
∵3x2+3y2-10x-2y-12=3（x-
5
3
）2+3（y-
1
3
）2-
62
3

∴當x=
5
3
且y=
1
3
時，
PA
•
PB
+
PB
•
PC
+
PC
•
PA
的最小值為-
62
3

故選：C
點評：本題給出△ABC三個頂點的坐標，求平面ABC內(nèi)的向量數(shù)量積之和的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積的計算公式和二次函數(shù)求最值等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tg（
A
2
）+
3
tg（
A
2
）tg（
C
2
）+tg（
C
2
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知A=45°，a=2，b=
2
，則B等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=
3
，b=
2
，1+2cos（B+C）=0，求：
（1）角A，B； 
（2）求BC邊上的高．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知A=60°，
AB
•
AC
=1，則△ABC的面積為
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=1，b=2，cosC=
34
．
（1）求AB的長；
（2）求sinA的值．

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