Question

已知向量

m

=（sin（A-B），sin（

π

2

-A）），

n

=（1，2sinB），且

m

•

n

=-sin2C，其中A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若

sinA

sinB

+

3cosA-2

3cosB-2

=0，且S_△ABC=

3

，求邊c的長．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量數(shù)量積，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinC不為0求出cosC的值，即可確定出角C的大��；
（Ⅱ）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，得到a+b=

3

2

c，再利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將sinC以及已知面積代入求出ab的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將a+b與ab，cosC的值代入即可求出c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知條件得

m

•

n

═sin（A-B）+2sinBsin（

π

2

-A）
=sin（A-B）+2sinBcosA
=sinAcosB-cosAsinB+2sinBcosA
=sinAcosB+cosAsinB
=sin（A+B）
=sinC
∴sinC=-sin2C=-2sinCcosC，
∴cosC=-

1

2

，
∴C=120°；
（Ⅱ）由題意得

sinA(3cosB-2)+sinB(3cosA-2)

sinB(3cosB-2)

=0
化簡(jiǎn)可得：2sinA+2sinB=3sinC，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2a+2b=3c，即有a+b=

3

2

c．
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

ab×

3

2

=

3

，即ab=4，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-ab，即3c²=ab=4，
解得：c=

4 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．