Question

設(shè)虛數(shù)z滿足．
（1）求證：|z|為定值．
（2）是否存在實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）依題意，設(shè)z=x+yi（x，y∈R，y≠0）…2′
代入得|（2x+3）+2yi|=|（x+2）-yi|，
整理得：x²+y²=3，即|z|=…6′
（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得為實(shí)數(shù)，
則=+
=+
=+
=（+）+（-）i∈R，
∴-=0，
∵y≠0，
∴k=±．
故存在實(shí)數(shù)k且k=±，使為實(shí)數(shù)…12′
分析：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R，y≠0），代入已知條件，可得|z|=；
（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得為實(shí)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)將化為：（+）+（-）i∈R，從而得到-=0，繼而可求得k的值．
點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，設(shè)z=x+yi（x，y∈R，y≠0）代入條件關(guān)系式是突破口，著重考查復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于中檔題．