Question

【題目】已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．

(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0（2）

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法給出切線的截距式方程，然后再利用圓心到切線的距離等于半徑列方程求系數(shù)即可；

（2）可先利用PM（PM可用P點到圓心的距離與半徑來表示）=PO，求出P點的軌跡（求出后是一條直線），然后再將求PM的最小值轉(zhuǎn)化為求直線上的點到原點的距離PO之最小值.

試題解析：

　(1)將圓C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．

①當切線在兩坐標軸上的截距為零時，設(shè)切線方程為y＝kx，

∴d＝＝，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．∴y＝(2±)x；

②當切線在兩坐標軸上的截距不為零時，設(shè)切線方程為x＋y－a＝0，

∴d＝＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．

綜上所述，所求切線方程為y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．

(2)∵|PO|＝|PM|，∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上．當|PM|取最小值時，即|OP|取得最小值，此時直線OP⊥l，∴直線OP的方程為：2x＋y＝0，解得方程組得∴P點坐標為．