Question

已知函數(shù)f(x)=px-

p

x

-2lnx．
（1）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出化簡；
（2）令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，只需h（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，然后建立不等關(guān)系，解之即可求出p的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)p=2時，函數(shù)f(x)=2x-

2

x

-2lnx，
f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），即y=2x-2．

（2）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
只需h（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立．
由題意p＞0，h（x）=px²-2x+p的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為x=

1

p

∈(0，+∞)，
∴h(x)min=p-

1

p

，只需p-

1

p

≥0，
即p≥1時，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，正實數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)題知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．