Question

若從1，2，3，…，14這14個整數(shù)中同時取3個數(shù)，其中任意兩數(shù)之差的絕對值不小于3，則不同的取法有

 

種．

Answer 1

分析：分類討論，差值等于3，4，5，6，分別求出相應的組合數(shù)，即可得出結論．

解答：解：①差值等于3的，1是首項，共5個數(shù)，{1，4，7，10，13}；
2是首項，共5個數(shù)，{2，5，8，11，14}；
3是首項，共4個數(shù)，{3，6，9，12}；
4是首項，共4個數(shù)，{4，7，10，13}；
5是首項，共4個數(shù)，{5，8，11，14}；
6是首項，共3個數(shù)，{6，9，12}；
7是首項，共3個數(shù)，{7，10，13}
8是首項，共3個數(shù)，{8，11，14}；
從上面分析可以看到，從首項是4開始到首項是8，是前面情況的重復出項，
所以不同的取法有

2C

3 5

+

C

3 4

=24種；
②差值等于4的，1是首項，13是末項，共4個數(shù)，{1，5，9，13}；
2是首項，14是末項，共4個數(shù)，{2，6，10，14}；
3是首項，11是末項，共3個數(shù)，{3，7，11}；
4是首項，12是末項，共3個數(shù)，{4，8，12}；
5是首項，13是末項，共3個數(shù)，{5，9，13}；
6是首項，14是末項，共3個數(shù)，{6，10，14}，
所以不同的取法有2

C

3 4

+3=15種；
③差值等于5的，1是首項，11是末項，共3個數(shù)，{1，6，11}；
2是首項，12是末項，共3個數(shù)，{2，7，12}；
3是首項，13是末項，共4個數(shù)，{3，8，13}；
4是首項，13是末項，共4個數(shù)，{4，9，14}，
所以不同的取法有4種；
④差值等于6的，1是首項，14是末項，共2個數(shù)，{1，7，14}，組合數(shù)為1
所以總的取法24+15+4+1=44種．
故答案為：44．

點評：本題考查排列組合知識的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類是關鍵．