Question

已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，集合B={x|-

1

2

＜x≤2}．
（1）若A⊆B，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若B⊆A，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）A、B能否相等．若存在，求出這樣的實數(shù)a，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由A⊆B得到集合A是集合B的子集，即集合A包含在集合B中，構(gòu)造滿足條件的關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可求出a的取值范圍．
（2）由B⊆A得到集合B是集合AB的子集，即集合B包含在集合A中，構(gòu)造滿足條件的關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可求出a的取值范圍．
（3）若A=B，則A⊆B且B⊆A，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，即可得到答案．

解答：解：（1）當a＞0時，
A=（-

1

a

，

4

a

]，
∵A是B的子集，B={x|-

1

2

＜x≤2}
∴-

1

a

≥-

1

2

且

4

a

≤2，
∴a≥2
當a＜0時，A=[

4

a

，-

1

a

），
∵A是B的子集，B={x|-

1

2

＜x≤2}
∴

4

a

＞-

1

2

且-

1

a

≤2，
∴a＜-8
當a=0時，A=R，不滿足要求
∴a∈（-∞，-8）∪[2，+∞）
（2）∵B是A的子集，
∴a＞0時，-

1

a

≤-

1

2

且

4

a

≥2
∴0＜a≤2
∴a＜0時，

4

a

≤-

1

2

且-

1

a

＞2，
∴0＞a＞-

1

2

當a=0時，A=R，滿足條件
∴a∈（-

1

2

，2]．
（3）A=B，則A⊆B且B⊆A，
即a∈（-

1

2

，2]∩（（-∞，-8）∪[2，+∞） ）
則a=2

點評：本題考查的知識點是集合的包含關(guān)系判斷及應用，集合相等的概念，其中將集合包含關(guān)系轉(zhuǎn)化區(qū)間端點間的大小關(guān)系比較，進行構(gòu)造出關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．