Question

寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

（1）3，5，7，9，…；

（2），，，，，…；

（3）-1，，-，，-，，…；

（4），-1，，-，，-，…；

（5）3，33，333，3 333，….

Answer 1

（1）a_n=2n+1.（2）a_n=.（3）a_n=（-1）ⁿ·.也可寫為a_n=.

（4）a_n=(-1)ⁿ⁺¹·.（5）a_n=(10ⁿ-1).

解析:

（1）各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以a_n=2n+1.

（2）每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列2¹，2²，2³，2⁴，…，所以a_n=.

（3）奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子（-1）ⁿ；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1，2，3，4，…；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2-1，偶數(shù)項(xiàng)為2+1，所以a_n=（-1）ⁿ·.

也可寫為a_n=.

（4）偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，奇數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式必含因子（-1）ⁿ⁺¹，觀察各項(xiàng)絕對(duì)值組成的數(shù)列，從第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可見，分母分別由奇數(shù)7，9，11，13組成，而分子則是3²+1，4²+1，5²+1，6²+1，按照這樣的規(guī)律第1、2兩項(xiàng)可改寫為，-，

所以a_n=(-1)ⁿ⁺¹·.

（5）將數(shù)列各項(xiàng)改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10-1,10²-1,10³-1,10⁴-1,…,

所以a_n=(10ⁿ-1).