Question

設(shè)f（x）=x²-4|x|-5．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）討論f（x）=a的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意化簡(jiǎn)f（x）=x²-4|x|-5=

(x-2)2-9，x≥0 (x+2)2-9，x＜0

，從而作出函數(shù)的圖象，由圖象確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由圖象討論方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）f（x）=x²-4|x|-5=

(x-2)2-9，x≥0 (x+2)2-9，x＜0

，
其圖象如右圖，
則f（x）在（-∞，-2），（0，2）上單調(diào)遞減，在（-2，0），（2，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）由圖可知，
當(dāng)a＜-9時(shí)，f（x）=a無(wú)根，
當(dāng)a=-9時(shí)，f（x）=a有兩個(gè)根，
當(dāng)-9＜a＜-5時(shí)，f（x）=a有四個(gè)根，
當(dāng)a=-5時(shí)，f（x）=a有三個(gè)根，
當(dāng)-5＜a時(shí)，f（x）=a有兩個(gè)根，
綜上所述，
當(dāng)a＜-9時(shí)，f（x）=a無(wú)根，
當(dāng)a=-9或a＞-5時(shí)，f（x）=a有兩個(gè)根，
當(dāng)a=-5時(shí)，f（x）=a有三個(gè)根，
當(dāng)-9＜a＜-5時(shí)，f（x）=a有四個(gè)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)與函數(shù)圖象的作法，同時(shí)考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系，屬于中檔題．