Question

（2009•崇明縣二模）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-

2

），且其右焦點(diǎn)到直線y-x-2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓C的軌跡方程；
（2）若A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)M，則稱弦AB是點(diǎn)M的一條“相關(guān)弦”，如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（

1

2

，0），求證點(diǎn)M的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)在同一條直線上；
（3）根據(jù)解決問題（2）的經(jīng)驗(yàn)與體會，請運(yùn)用類比、推廣等思想方法，提出一個(gè)與“相關(guān)弦”有關(guān)的具有研究價(jià)值的結(jié)論，并加以解決．（本小題將根據(jù)所提出問題的層次性給予不同的分值）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可知）b=

2

，根據(jù)右焦點(diǎn)到直線y-x-2

2

=0的距離為3，可得c=

2

，從而可求a=2，故可得橢圓C的軌跡方程；
（2））設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)為P₀（x₀，y₀）

AB

=(x2-x1，y2-y1)，

P0M

=(

1

2

-x0，-y0)
由于

AB

⊥

P0M

，所以(x2-x1)(

1

2

-x0)+(y2-y1)(-

y

0

)=0，利用點(diǎn)在橢圓上，有（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能導(dǎo)出點(diǎn)M的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)在同一條直線x=1上．
（3）橢圓到一般，點(diǎn)到一般即可得結(jié)論：若A、B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0））上的不同兩點(diǎn)．弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)M，則稱弦AB是點(diǎn)M的一條“相關(guān)弦”，如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（t，0），當(dāng)-

a2-b2

a

＜t＜

a2-b2

a

時(shí)，證明：點(diǎn)M的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)在同一條直線上．

解答：解：（1）b=

2

，
根據(jù)右焦點(diǎn)到直線y-x-2

2

=0的距離為3，可得c=

2

，∴a=2
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

4

+

y2

2

=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)為P₀（x₀，y₀）

AB

=(x2-x1，y2-y1)，

P0M

=(

1

2

-x0，-y0)
由于

AB

⊥

P0M

，所以(x2-x1)(

1

2

-x0)+(y2-y1)(-

y

0

)=0（Ⅰ）
則x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²②．
由①②兩式相減得：x₁²-x₂²+2y₁²-2y₂²=0
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（Ⅱ）
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x₀=1
因此：點(diǎn)M的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)在同一條直線x=1上．
（3）橢圓到一般，點(diǎn)到一般
 若A、B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0））上的不同兩點(diǎn)．弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)M，則稱弦AB是點(diǎn)M的一條“相關(guān)弦”，如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（t，0），當(dāng)-

a2-b2

a

＜t＜

a2-b2

a

時(shí)，證明：點(diǎn)M的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)在同一條直線上．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查點(diǎn)差法，同時(shí)考查學(xué)生探究能力，有一定的難度．