Question

記具有如下性質的函數的集合為M：對任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，則f（x₁）＜f（x₂），現給定函數①y=ln（|x|+1）②y=x²e^x③y=x⁴+x³+1④y=

1

2

x2+cosx則上述函數中，屬于集合M的函數序號是

 

．

Answer 1

分析：①④利用函數的單調性與函數的奇偶性判斷出這兩個函數都屬于集合M，②③由于是選擇題我們可以去特值進行賽選，即可得到答案．

解答：解：①若x₁²＜x₂²，則|x₁|＜|x₂|，所以ln（|x₁|+1）＜ln（|x₂|+1）即f（x₁）＜f（x₂）．所以①符合要求．
②令x₁=-

1

2

，x₂=-1，則x₁²＜x₂²．所以f（x₁）=

1

e

＞f（x₂）=

1

e

．所以②不符合要求．
③令x1=-

1

3

，x2=-

1

2

，則x₁²＜x₂²．所以f（x₁）=1-

2

81

＞f（x₂）=1-

1

16

．所以③不符合要求．
④由題意得y′=x+sinx，設f（x）=y′=x+sinx，所以f′（x）=1+cosx≥0恒成立，所以f（x）=y′=x+sinx是單調減函數．即得到當x＞0時y′＞0，當x＜0時y′＜0，所以當x＞0時，y=

1

2

x2+cosx是增函數，當x＜0時y=

1

2

x2+cosx是奇函數．
若x₁²＜x₂²，則|x₁|＜|x₂|，所以

1

2

|x1|2+cos|x1|＜

1

2

|x2|2+cos|x2|，由函數是偶函數可得

1

2

x12+cos|x1|＜

1

2

x22+cosx2．所以④符合要求．
故答案為：①④．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉理解新定義的內容，根據題意結合函數的一個性質如單調性與奇偶性解決問題，新概念題是近幾年高考命題的趨向．