Question

已知橢圓的離心率為，且橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如圖，設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），且直線與定直線交于點(diǎn)，過作直線交軸于點(diǎn)，試判斷直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）一個(gè).

解析試題分析：（Ⅰ）利用、、之間的相互關(guān)系與題設(shè)條件求出、、的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）根據(jù)題設(shè)條件分別點(diǎn)、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程，再聯(lián)立直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用法確定直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
試題解析：（Ⅰ）設(shè)，易知，又，得，于是有．
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．      4分
（Ⅱ）聯(lián)立得，
的坐標(biāo)為．故．

依題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)的坐標(biāo)為，  故．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/55/f/xpb3y.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，解得，
于是直線的斜率為，                  8分
從而得直線的方程為：，代入，
得，
即，知，
故直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．                           13分
考點(diǎn)：橢圓的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系