Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，是線段EF的中點(diǎn).

（1）求證AM//平面BDE

（2）求二面角A―DF―B的大小

（3）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60°

Answer 1

（1）解：

   

記AC與BD的交點(diǎn)，為O，連接OE。O，M分別是AC、EF的中點(diǎn)且ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形  ∴AM//OE

又OE平面BDE，AM平面BDE.

∴AM//平面BDE

（2）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S點(diǎn)，連接BS

∴AB⊥AF

∴AB⊥AD

ADAF=A

∴AB⊥平面ADF

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

∴BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角

在Rt△ASB中，AS

∴tan∠ASB=

∴∠ASB=60°

∴二面角A―DF―B的大小為60°

（3）設(shè)CP=；作PQ⊥AB于Q，則PQ//AD

PQ⊥AB，PQ⊥AF，ABAF=A

∴PQ⊥平面ABF

∴PQ⊥QF

在Rt△PQF中，∠FPQ=60°，PF=2PQ

△PAQ為等腰直角三角形，

∴PQ

又△PAF為Rt△，

∴

∴t=1或t=3（舍）

即P是AC的中點(diǎn)。