Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1

x+2

，試證明f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)，并求出該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，通過(guò)作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，即可得出結(jié)論；利用函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值和最小值．

解答：解：f（x）=

2x+1

x+2

=2-

3

x+2

                  （1分）
在（-2，+∞）上任取x₁，x₂，使得-2＜x₁＜x₂，則                    （2分）
f（x₁）-f（x₂）=

3(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

                           （5分）
∵-2＜x₁＜x₂，
∴0＜x₁+2＜x₂+2，且x₁-x₂＜0                                        （8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），（9分）
∴f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)．（10分）
∵f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[1，4]上也是增函數(shù)，（11分）
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值，且最小值為f（1）=1                        （12分）
當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值，且最大值為f（4）=

3

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．