Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是D₁D，BD的中點，G在棱CD上，且CG=

1

4

CD，H為C₁G的中點，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．
（1）求證：EF⊥B₁C；
（2）求EF與C₁G所成的角的余弦；
（3）求FH的長．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，可求出

EF

=(

1

2

， 

1

2

，- 

1

2

)，

B 1C

=(-1，0，-1)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)計算可得

EF

•

B1C

=0即可證得EF⊥B₁C．
（2）由（1）知

C1G

=(0，-

1

4

，-1)，

EF

=(

1

2

，

1

2

，-

1

2

)，從而可計算相應(yīng)的模與數(shù)量積，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可求EF與C₁G所成角的余弦值；
（3）分別表示出F，H的坐標(biāo)，從而可求向量FH的模，進而可得FH的長．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則E（0，0，

1

2

），F(

1

2

，

1

2

，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，G(0，

3

4

，0)   
（1）∵

EF

=(

1

2

， 

1

2

，- 

1

2

)，

B 1C

=(-1，0，-1)
∵

EF

•

B1C

=0∴EF⊥B1C
（2）由（1）知

C1G

=(0，-

1

4

，-1)…（4分）
∴|

C1G

|=

02+(- 1 4 )2+12

=

17

4

，…（5分）
|

EF

|=

( 1 2 )2+( 1 2 )2+( 1 2 )2

=

3

2

…（6分）

EF

•

C1G

=

1

2

•0+

1

2

•

1

4

+(-

1

2

)•(-1)=

3

8

…（7分）
∴cos＜ 

EF

，

C1G

＞  =

51

17

故EF與C₁G所成角的余弦值為

51

17

．…（8分）
（3）∵H為C₁G的中點
∴H(0，

7

8

，

1

2

)
∵F(

1

2

，

1

2

，0)
∴|

FH

|=

(0- 1 2 )2+( 7 8 - 1 2 ) 2+( 1 2 -0)2

=

41

8

∴FH=

41

8

…（10分）

點評：本題以正方體為載體，主要考查線線垂直的證明和線線角的求解．解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解立體幾何問題．