Question

（本小題滿分15分）

已知函數(shù).

(Ⅰ) 若曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，求 的值；

(Ⅱ) 求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度 的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）以函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍是.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中 的運用。

（1）先求解函數(shù)的定義域為，函數(shù)導(dǎo)數(shù)

所以曲線在點處的切線方程為：

因為切線與曲線有唯一的公共點，

所以方程有且只有一個實數(shù)解，顯然是方程的一個解.

構(gòu)造函數(shù)令，則

對參數(shù)m討論得到結(jié)論。

（2））因為.

因為且對稱軸為，

，

所以方程在內(nèi)有兩個不同實根，

結(jié)合韋達(dá)定理得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

所以曲線在點處的切線方程為：

因為切線與曲線有唯一的公共點，

所以方程有且只有一個實數(shù)解，顯然是方程的一個解.

令，則

①當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，即是方程唯一實數(shù)解.

②當(dāng)時，由得，，

在區(qū)間上，；在區(qū)間上，；

所以函數(shù)在處有極大值，且；

而當(dāng)，因此在內(nèi)也有一個解.

即當(dāng)時，不合題目的條件.

綜上討論得.……………………………………………………………………………8分

（Ⅱ）.

因為且對稱軸為，

，

所以方程在內(nèi)有兩個不同實根，

即的解集為，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

由于，所以，

所以函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍是.……………………15分