Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，若對(duì)任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 討論當(dāng)m≥0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)m＜0時(shí)，即有f（x+2m）＞f（$\sqrt{-mx}$），利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$是R上的遞增函數(shù)
由f（x+2m）+mf（x）＞0得（x+2m）|x+2m|+mx²＞0，x≥1，
當(dāng)m≥0時(shí)，即有（x+2m）²+mx²＞0，在x≥1恒成立．
當(dāng)m＜0時(shí)，即有f（x+2m）＞f（$\sqrt{-mx}$），
∴x+2m＞$\sqrt{-mx}$，
∴（1-$\sqrt{-m}$）x+2m＞0在x≥1恒成立．
∴1-$\sqrt{-m}$＞0且1-$\sqrt{-m}$+2m＞0，
∴m＞-1且（4m+1））（m+1）＞0，
∴m＞-$\frac{1}{4}$．
故答案為：m＞-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了恒成立問題的基本解法及分類討論思想，正確分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．