Question

已知拋物線C:與直線相切，且知點和直線，若動點在拋物線C上（除原點外），點處的切線記為，過點且與直線垂直的直線記為.

（1）求拋物線C的方程；

（2）求證：直線相交于同一點.

 

Answer 1

（1）；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）將拋物線C的方程與直線聯(lián)立化為關(guān)于的一元二次方程，由直線與拋物線C相切知，上述一元二次方程的判別式等于0，列出關(guān)于的方程，解出值，即可求出拋物線C的方程，注意根據(jù)的范圍，對的值要取舍；（2）設(shè)出P點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線C在點P的切線m的方程，將直線m的方程與直線的方程聯(lián)立，求出交點坐標(biāo)，利用直線n與直線PF垂直，用p點坐標(biāo)把直線n的斜率表示出來，求出直線n的方程，將上述交點坐標(biāo)代入直線n的方程，滿足即證明三線共點.

試題解析：（1）聯(lián)立消去得

因為拋物線C與直線相切，所以 3分

解得（舍）或 4分

所以拋物線的方程為 5分

（2）證明：由得，求導(dǎo)有 6分

設(shè)，依題其中，則處的切線方程為：

切線方程 8分

與直線聯(lián)立得：，即直線相交于 9分

直線的斜率為

因為與直線垂直，所以 11分

因為過點，所以的方程為 12分

與直線聯(lián)立得：，即直線也相交于 13分

故直線相交于于同一點. 14分

考點: 直線與拋物線的位置關(guān)系；平面兩直線的位置關(guān)系；曲線的切線；運算求解能力