Question

函數(shù)f（x）=x²+|x+a|-b的圖象上存在點(diǎn)P（x₁，f（x₁））對(duì)任意a∈[-1，3]都不在x軸的上方，則b的最小值為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）=x²+|x+a|-b的圖象上存在點(diǎn)P（x₁，f（x₁））對(duì)任意a∈[-1，3]都不在x軸的上方，可得任意a∈[-1，3]，函數(shù)f（x）的最小值f（x）_min≤0恒成立，分a∈[-1，-]時(shí)，a∈（-，）時(shí)和a∈[，3]時(shí)三種情況，討論（x）_min≤0恒成立時(shí)b的范圍，最后綜合分類(lèi)結(jié)果，即可得到答案．
解答：若函數(shù)f（x）=x²+|x+a|-b的圖象上對(duì)任意a∈[-1，3]
都有點(diǎn)P（x₁，f（x₁））都不在x軸的上方
則對(duì)任意a∈[-1，3]，函數(shù)f（x）的最小值f（x）_min≤0恒成立，
∵f（x）=
∵a∈[-1，3]
∴當(dāng)a∈[-1，-]時(shí)，-a∈[，1]，此時(shí)f（x）_min=f（）=--a-b，
若f（x）_min≤0恒成立，則b≥
∴當(dāng)a∈（-，）時(shí)，-a∈（-，），此時(shí)f（x）_min=f（-a）=a²-b，
若f（x）_min≤0恒成立，則b≥1
當(dāng)a∈[，3]時(shí)，-a∈[-3，-]，此時(shí)f（x）_min=f（-）=-+a-b，
若f（x）_min≤0恒成立，則b≥
若f（x）_min≤0恒成立，則b的最小值為
故答案為
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，其中分類(lèi)討論出a∈[-1，-]時(shí)，a∈（-，）時(shí)和a∈[，3]時(shí)三種情況，討論（x）_min≤0恒成立時(shí)b的范圍，是解答本題的關(guān)鍵．