Question

（2013•福建）某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為

2

3

，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為

2

5

，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．
（1）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

分析：（1）記“他們的累計(jì)得分X≤3”的事事件為A，則事件A的對立事件是“X=5”，由題意知，小明中獎(jiǎng)的概率為

2

3

，小紅中獎(jiǎng)的概率為

2

5

，且兩人抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，先根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式求出對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式即可求出他們的累計(jì)得分x≤3的概率．
（2）設(shè)小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₁，甲小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₂，則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X₁），都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X₂）．根據(jù)題意知X₁～B（2，

2

3

），X₂～B（2，

2

5

），利用貝努利概率的期望公式計(jì)算即可得出E（2X₁）＞E（3X₂），從而得出答案．

解答：解：（1）由題意知，小明中獎(jiǎng)的概率為

2

3

，小紅中獎(jiǎng)的概率為

2

5

，且兩人抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，
記“他們的累計(jì)得分X≤3”的事事件為A，則事件A的對立事件是“X=5”，
因?yàn)镻（X=5）=

2

3

×

2

5

=

4

15

，∴P（A）=1-P（X=5）=

11

15

；
即他們的累計(jì)得分x≤3的概率為

11

15

．
（2）設(shè)小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₁，
甲小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₂，則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X₁）
都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X₂）
由已知可得，X₁～B（2，

2

3

），X₂～B（2，

2

5

），
∴E（X₁）=2×

2

3

=

4

3

，E（X₂）=2×

2

5

=

4

5

，
從而E（2X₁）=2E（X₁）=

8

3

，E（3X₂）=3E（X₂）=

12

5

，
由于E（2X₁）＞E（3X₂），
∴他們選擇甲方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．

點(diǎn)評：本題考查利用概率知識解決實(shí)際問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，確定X服從的分布是解題的關(guān)鍵．