Question

12．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=4，CD=3，AB=$\frac{25}{3}$，將△ACD折起，使二面角D′-AC-B為直二面角，得到如圖2所示的空間幾何體D′-ABC．

（1）求證：AD′⊥平面BCD′；
（2）求直線AD′與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）在直角梯形中，過C作CE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理證明BC⊥AC，然后根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．
（2）過D'作D'O⊥AC，則∠D'AO是直線AD′與平面ABC所成的角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）證明：在直角梯形中，過C作CE⊥AB于E
則CE=AD=4．AE=CD=3，
則BE=AB-AE=$\frac{25}{3}$-3=$\frac{16}{3}$，AC=5
BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{16+（\frac{16}{3}）^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∵AC²+BC²=25+（$\frac{20}{3}$）²=$\frac{625}{9}$=（$\frac{25}{3}$）²=BC²，
∴△ACB是直角三角形，則AC⊥BC，
∵二面角D′-AC-B為直二面角，
∴BC⊥平面D′AC，
∵AD′?平面D′AC，
∴BC⊥AD′，
∵AD′⊥CD′，BC∩CD′=C，
∴AD′⊥平面BCD′
（2）∵二面角D′-AC-B為直二面角
∴過D'作D'O⊥AC，
則D'O⊥平面ABC，
則∠D'AO是直線AD′與平面ABC所成的角，
則sin∠D'AO=$\frac{D′O}{AD'}=\frac{D'C}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
即直線AD′與平面ABC所成角的正弦值是$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的判定以及線面角的求解，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及線面角的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．