Question

設直線l₁：y=2x與直線l₂：x+y=6交于P點．
（1）當直線m過P點且與直線l₀：x-2y=0垂直時，求直線m的方程；
（2）當直線m過P點且坐標原點O到直線m的距離為2時，求直線m的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）先求出P的坐標，由直線m過P點且與直線l₀：x-2y=0垂直時，可得直線m的斜率，從而可得直線m的方程；
（2）分類討論，根據直線m過P點且坐標原點O到直線m的距離為2時，利用點到直線的距離公式，即可求出直線m的方程．

解答： 解：（1）令2x=6-x，可得x=2，∴y=4，
∴交點（2 4）．
∵直線m和x-2y=0垂直，
∴直線m的斜率為-2，
∴直線m的方程y-4=-2（x-2），即2x+y-8=0；
（2）當直線的斜率存在時，設直線方程為y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0
圓0到直線的距離d=

|-2k+4|

k2+1

=2，
解得k=

3

4

，
∴直線m的方程為y-4=

3

4

（x-2），即3x-4y+10=0；
當直線的斜率不存在時，方程為x=2，符合題意，
綜上，直線m的方程為x=2或3x-4y+10=0．

點評：本題考查直線方程，考查點到直線的距離公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．