Question

（2013•寧德模擬）已知函數(shù)f（x）=

( 1 2 )x，x≤0 -x2+1，x＞0

，不等式f（a-

3

cost）＜f（sint+1）對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，-1）

B．（-1，+∞）

C．（-∞，3）

D．（3，+∞）

Answer 1

分析：通過(guò)f（x）的圖象可判斷f（x）單調(diào)遞減，從而不等式可去掉符號(hào)“f”，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值問(wèn)題．

解答：解：作出函數(shù)f（x）的圖象如右圖所示：
由圖象可知，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，
所以f（a-

3

cost）＜f（sint+1）對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，等價(jià)于a-

3

cost＞sint+1恒成立，即a＞

3

cost+sint+1恒成立，
而

3

cost+sint+1=2sin（t+

π

3

）+1≤3，
所以a＞3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（3，+∞），
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及不等式的解法，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)f（x）的圖象判斷其單調(diào)性，由單調(diào)性去掉符號(hào)“f”，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決．