Question

【題目】已知， ， .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）記，設(shè)， 為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且.

（i）當(dāng)時(shí)，若在， 處的切線相互垂直，求證： ；

（ii）若在點(diǎn)， 處的切線重合，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，即方程=0的根的情況，當(dāng)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等根，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間，（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義化簡條件： 在， 處的切線相互垂直，得，利用基本不等式證明不等式，（ii）先分別求出切線方程，再根據(jù)切線重合得，消元得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)， 單調(diào)性，確定函數(shù)值域，進(jìn)而確定的取值范圍.

試題解析：解：（1），則，

當(dāng)即時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)即時(shí)， ，

此時(shí)在和上都是單調(diào)遞減的，在上是單調(diào)遞增的；

（2）（i），據(jù)題意有，又，

則且， ，

法1： ，

當(dāng)且僅當(dāng)即， 時(shí)取等號(hào).

法2： ， ，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

（ii）要在點(diǎn)處的切線重合，首先需要在點(diǎn)處的切線的斜率相等，

而時(shí)， ，則必有，即， ，

處的切線方程是：

處的切線方程是： ，

即，

據(jù)題意則， ，

設(shè)， ， ，

設(shè)， 在上恒成立，

則在上單調(diào)遞增，

則， 在上單調(diào)遞增，

則，再設(shè)， ，

， 在上單調(diào)遞增， ，

則在恒成立，

即當(dāng)時(shí)， 的值域是，

故，即為所求.