Question

（2012•開封一模）已知函數(shù)f(x)=

2x-1，(x≤0) f(x-1)+1，(x＞0)

，把函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的前n項(xiàng)的和為S_n，則S₁₀=（　　）

• A．

  2

  10

  -1
• B．2⁹-1
• C．45
• D．55

Answer 1

分析：函數(shù)y=f（x）與y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交點(diǎn)依次為（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次為3，4，…n+1．方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為0，1，2，3，4，…，可得數(shù)列通項(xiàng)公式．

解答：解：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，有-1＜x-1＜0，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，有0＜x-1≤1，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，有1＜x-1≤2，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，
當(dāng)3＜x≤4時(shí)，有2＜x-1≤3，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，
以此類推，當(dāng)n＜x≤n+1（其中n∈N）時(shí)，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，
所以，函數(shù)f（x）=2^x的圖象與直線y=x+1的交點(diǎn)為：（0，1）和（1，2），
由于指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x為增函數(shù)且圖象下凸，故它們只有這兩個(gè)交點(diǎn)．
然后：
①將函數(shù)f（x）=2^x和y=x+1的圖象同時(shí)向下平移一個(gè)單位，即得到函數(shù)f（x）=2^x-1和y=x的圖象，
取x≤0的部分，可見它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）．
即當(dāng)x≤0時(shí)，方程f（x）-x=0有且僅有一個(gè)根x=0．
②取①中函數(shù)f（x）=2^x-1和y=x圖象-1＜x≤0的部分，再同時(shí)向上和向右各平移一個(gè)單位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋�(gè)交點(diǎn)（1，1）．
即當(dāng)0＜x≤1時(shí)，方程f（x）-x=0有且僅有一個(gè)根x=1．
③�、谥泻瘮�(shù)f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，繼續(xù)按照上述步驟進(jìn)行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的圖象，此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋�(gè)交點(diǎn)（2，2）．
即當(dāng)1＜x≤2時(shí)，方程f（x）-x=0有且僅有一個(gè)根x=2．
④以此類推，函數(shù)y=f（x）與y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交點(diǎn)依次為（3，3），（4，4），…
（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…，n+1．
綜上所述方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為：
0，1，2，3，4，…，
其通項(xiàng)公式為：a_n=n-1，前n項(xiàng)的和為 S_n=

(n-1)•n

2

，
∴S₁₀=45，
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推公式的靈活運(yùn)用，解題時(shí)要注意分類討論思想和歸納總結(jié)；本題屬于較難的題目，要細(xì)心解答．