Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-5|的最小值為m
（1）求m的值；
（2）若a，b，c為正實數(shù)，且a+b+c=m，求證：a²+b²+c²≥12．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出f（x）的最小值即m的值即可；
（2）根據(jù)（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=36，可得 a²+b²+c² 的最小值為12．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-5|，
x≥5時，f（x）=x+1+x-5=2x-4，此時f（x）的最小值是6，
-1≤x≤5時，f（x）=x+1-x+5=6，
x≤-1時，f（x）=-x-1-x+5=-2x+4，此時f（x）的最小值是6，
故f（x）的最小值是6，故m=6；
（2）由（1）得a+b+c=6，
因為a，b，c 均為正實數(shù)，由柯西不等式得，
（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=36，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時等號成立，
∴a²+b²+c² 的最小值為12．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查柯西不等式的應(yīng)用，是一道中檔題．