Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=5-log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（Ⅰ）可以根據(jù)條件得到首項(xiàng)與公差的方程，解方程組得首項(xiàng)和公差，從而不出數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可以先求出a₃與a₅，再求出出首項(xiàng)和公差，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的求和公式，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，得到本題結(jié)論；（Ⅲ）利用數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，用裂項(xiàng)法求和，得T_n，即本題結(jié)論．

解答： 解：（I）∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴a32+2a3a5+a52=25．
∵a_n＞0（n∈N^*），
∴a₃+a₅=5．
又∵a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2，
∴a₃a₅=4，
而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，
∴a₃=4，a₅=1．
∴q=

1

2

，a₁=16．
∴a_n=16×（

1

2

）^n-1=2^5-n．
（Ⅱ）∵b_n=5-log₂a_n，
∴b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，
∴b_n+1-b_n=1．
∴{b_n}是以b₁=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴Sn=

n(n+1)

2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的求法，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．