Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，的面積為1（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求橢圓的方程；

（2）若C、D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值；

（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

(1).（2）見解析；(3)存在，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點(diǎn).

【解析】

試題分析：(1)由已知:,可得,,可得橢圓方程為.

（2）由（1）知，設(shè).根據(jù)知.

由消去,整理得:,

應(yīng)用韋達(dá)定理得

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即得(定值).

(3)以為直徑的圓恒過的交點(diǎn),

由，建立Q坐標(biāo)的方程.

試題解析：(1)由已知:,,,

所以橢圓方程為. 4分

（2）由（1）知，.

由題意可設(shè).

由消去,整理得:,

.,

(定值). 9分

(3)設(shè).

若以為直徑的圓恒過的交點(diǎn),

則.

由(2)可知:,

,

即恒成立,

∴存在，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點(diǎn). 13分

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.