Question

定義在R上的函數f（x）對?x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，若函數f（x+1）為奇函數，則不等式f（1-x）＜0的解集為

1. A.
   （1，+∞）
2. B.
   （0，+∞）
3. C.
   （-∞，0）
4. D.
   （-∞，1）

Answer 1

C
分析：通過義在R上的函數f（x）對?x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，得到函數f（x）在R上為單調減函數，再根據函數f（x+1）為奇函數，得到函數f（x+1）必過原點，f（x+1）=-f（1-x），即可求解
解答：∵定義在R上的函數f（x）對?x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0
∴（x₁-x₂）與[f（x₁）-f（x₂）]異號
當x₁-x₂＜0時，f（x₁）-f（x₂）＞0；反之亦然
即函數f（x）在R上為單調減函數
即函數f（x+1）在R上為單調減函數
∵函數f（x+1）為奇函數且定義域為R
∴函數f（x+1）必過原點，故函數f（x）必過（1，0）
∴x＞1時有，f（x）＜0
又f（1-x）＜0
∴1-x＞1
∴x＜0
故選C
點評：本題考查了函數的單調性的定義，利用奇函數的性質及圖象的平移的相關知識進行求解，屬于基礎題．