Question

有以下四個(gè)命題：
（1）函數(shù)f（x）=x²e^x既無(wú)最小值也無(wú)最大值；
（2）在區(qū)間[-3，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得|x-1|+|x+2|≤5成立的概率為

5

6

；
（3）若不等式（m+n）（

a

m

+

1

n

）≥25對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為16；
（4）已知函數(shù)f（x）=

5 x+1 -3，(x≥0) x2+4x+2，(x＜0)

，若方程f（x）=k（x+2）-2恰有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k∈（0，2）；
以上正確的序號(hào)是：

 

．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）=x²e^x最值情況；
（2）利用幾何概型的概率公式進(jìn)行判斷；
（3）利用基本不等式成立的條件進(jìn)行判斷；
（4）利用數(shù)形結(jié)合，判斷方程根的取值情況．

解答：解：（1）f′（x）=xe^x（2+x）．令f′（x）=0，解得x=0或-2．
由f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-2，0上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在x=0取得極小值，同時(shí)也是最小值f（0）=0；在x=-2取得極大值，f（-2）=

4

e2

．∴（1）錯(cuò)誤．
（2）|x-1|+|x+2|=

-2x-1，x＜-2 3，-2≤x≤1 2x+1，x＞1

，
則當(dāng)x＜-2，由|x-1|+|x+2|≤5得-2x-1≤5，即2x≥-6，解得-3≤x＜-2．
當(dāng)-2≤x≤1，由|x-1|+|x+2|≤5得3≤5，恒成立，此時(shí)-2≤x≤1．
當(dāng)x＞1，由|x-1|+|x+2|≤5得2x+1≤5，即x≤2，解得1＜x≤2，
綜上：不等式|x-1|+|x+2|≤5的解為-3≤x≤2．
∴在區(qū)間[-3，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得|x-1|+|x+2|≤5成立的概率為

2-(-3)

3-(-3)

=

5

6

，∴（2）正確．
（3）由（m+n）（

a

m

+

1

n

）=a+1+

an

m

+

m

n

≥a+1+2

an m • m n

=a+2

a

+1=（

a

+1）²，
要使不等式（m+n）（

a

m

+

1

n

）≥25對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n恒成立，
則（

a

+1）²≥25，即

a

+1≥5，即

a

≥4，
∴a≥16，則正實(shí)數(shù)a的最小值為16，∴（3）正確．
（4）作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：函數(shù)y=k（x+2）-2表示過(guò)點(diǎn)A（-2，-2）的直線，當(dāng)直線的斜率k=0時(shí)，此時(shí)方程f（x）=k（x+2）-2有兩個(gè)不同的根，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），即k=2時(shí)，方程f（x）=k（x+2）-2有兩個(gè)不同的根，即當(dāng)k∈（0，2）時(shí)，方程f（x）=k（x+2）-2恰有三個(gè)不同的實(shí)根，
由圖象可知當(dāng)k＜0時(shí)，方程f（x）=k（x+2）-2也存在三個(gè)不同的實(shí)根，∴（4）錯(cuò)誤．
故答案為：（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)較大，綜合性較強(qiáng)，難度較大．