有以下四個命題:
(1)函數(shù)f(x)=x2ex既無最小值也無最大值;
(2)在區(qū)間[-3,3]上隨機取一個數(shù)x,使得|x-1|+|x+2|≤5成立的概率為
5
6
;
(3)若不等式(m+n)(
a
m
+
1
n
)≥25對任意正實數(shù)m,n恒成立,則正實數(shù)a的最小值為16;
(4)已知函數(shù)f(x)=
5
x+1
-3,(x≥0)
x2+4x+2,(x<0)
,若方程f(x)=k(x+2)-2恰有三個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是k∈(0,2);
以上正確的序號是:
 
分析:(1)利用導數(shù)求函數(shù)f(x)=x2ex最值情況;
(2)利用幾何概型的概率公式進行判斷;
(3)利用基本不等式成立的條件進行判斷;
(4)利用數(shù)形結合,判斷方程根的取值情況.
解答:解:(1)f′(x)=xex(2+x).令f′(x)=0,解得x=0或-2.
由f′(x)>0,解得x>0或x<-2,
∴函數(shù)f(x)在(-∞,-2)和(0,+∞)單調(diào)遞增;精英家教網(wǎng)
由f′(x)<0,解得-2<x<0,
∴函數(shù)f(x)在(-2,0上單調(diào)遞減.
∴函數(shù)f(x)在x=0取得極小值,同時也是最小值f(0)=0;在x=-2取得極大值,f(-2)=
4
e2
.∴(1)錯誤.
(2)|x-1|+|x+2|=
-2x-1,x<-2
3,-2≤x≤1
2x+1,x>1
,
則當x<-2,由|x-1|+|x+2|≤5得-2x-1≤5,即2x≥-6,解得-3≤x<-2.
當-2≤x≤1,由|x-1|+|x+2|≤5得3≤5,恒成立,此時-2≤x≤1.
當x>1,由|x-1|+|x+2|≤5得2x+1≤5,即x≤2,解得1<x≤2,
綜上:不等式|x-1|+|x+2|≤5的解為-3≤x≤2.
∴在區(qū)間[-3,3]上隨機取一個數(shù)x,使得|x-1|+|x+2|≤5成立的概率為
2-(-3)
3-(-3)
=
5
6
,∴(2)正確.
(3)由(m+n)(
a
m
+
1
n
)=a+1+
an
m
+
m
n
≥a+1+2
an
m
m
n
=a+2
a
+1
=(
a
+1
2,
要使不等式(m+n)(
a
m
+
1
n
)≥25對任意正實數(shù)m,n恒成立,
則(
a
+1
2≥25,即
a
+1≥5
,即
a
≥4
,
∴a≥16,則正實數(shù)a的最小值為16,∴(3)正確.
(4)作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:函數(shù)y=k(x+2)-2表示過點A(-2,-2)的直線,當直線的斜率k=0時,此時方程f(x)=k(x+2)-2有兩個不同的根,
當直線經(jīng)過點(0,2),即k=2時,方程f(x)=k(x+2)-2有兩個不同的根,即當k∈(0,2)時,方程f(x)=k(x+2)-2恰有三個不同的實根,
由圖象可知當k<0時,方程f(x)=k(x+2)-2也存在三個不同的實根,∴(4)錯誤.
故答案為:(2)(3).
點評:本題主要考查函數(shù)的性質的綜合應用,涉及的知識點較大,綜合性較強,難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設m、n是不同的直線,α、β、γ是不同的平面,有以下四個命題:
(1)
α∥β
α∥γ
?β∥γ

(2)
α⊥β
m∥α
?m⊥β

(3)
m⊥α
m∥β
?α⊥β

(4)
m∥n
n?α
?m∥α
,
其中假命題有
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

關于直線m,n與平面α,β,有以下四個命題:
(1)若m∥α,n∥β,且α∥β,則m∥n;
(2)若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,則m⊥n;
(3)若m⊥α,n∥β,且α∥β,則m⊥n;
(4)若m∥α,n⊥β,且α⊥β,則m∥n,
其中真命題的序號是
(2)(3)
(2)(3)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖AB為圓O的直徑,點C在圓周上(異于A,B點)直線PA垂直于圓所在的平面,點M為線段PB的中點,有以下四個命題:
(1)PA∥平面MOB;       (2)MO∥平面PAC;
(3)OC⊥平面PAB;      (4)平面PAC⊥平面PBC,
其中正確的命題是
(2)(4)
(2)(4)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

有以下四個命題:
(1)在頻率分布直方圖中,表示中位數(shù)的點一定落在最高的矩形的邊上.
(2)要從高二的12個班中選派2個班去文化中心看電影,其中1班是必去的,還有11個班用以下兩種方法決定:一是擲兩粒骰子,點數(shù)和是幾,就幾班去;二是用抽簽的方法來決定,這兩種方法都是公平的.
(3)概率為0的事件不一定為不可能事件.
(4)(x+
1
2
)8
的展開式的第二項的系數(shù)不是
C
0
8
,是
C
1
8

以上命題中所有錯誤命題的題號是
(1)、(2)、(4)
(1)、(2)、(4)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案