Question

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³，當a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）設函數(shù)f（x）=（x-1）e^x，求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而可求得函數(shù)的極值；
（Ⅱ）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，即可得出函數(shù)的單調區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x³-3x²-9x+1，
∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
∴由f′（x）=0得，x=-1或x=3，
又x＜-1時，f′（x）＞0，-1＜x＜3時，f′（x）＜0，x＞3時，f′（x）＞0，
∴當x=-1時，函數(shù)f（x）有極大值為f（-1）=-1-3+9+1=6，
當x=3時，函數(shù)f（x）有極小值為f（3）=27-27-27+1=-26．
（Ⅱ）∵f（x）=（x-1）e^x，
∴f′（x）=（x-1）′•e^x+（x-1）•（e^x）′=xe^x，
∴當x＞0時，f′（x）＞0，當x＜0時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），遞減區(qū)間為（-∞，0）．

點評：本題考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值等知識，屬于常見題型，屬中檔題．