Question

下列說法中：
①函數(shù)f(x)=

x-1

x+1

與g（x）=x的圖象沒有公共點；
②若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+3）=-f（x），則6為函數(shù)f（x）的周期；
③若對于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，則a＞

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；
④定義：“若函數(shù)f（x）對于任意x∈R，都存在正常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，則稱函數(shù)f（x）為有界泛函．”由該定義可知，函數(shù)f（x）=x²+1為有界泛函．
則其中正確的是

①②③

．

Answer 1

分析：聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，構(gòu)造方程組，方程組解的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點個數(shù)，由此可判斷①的真假，根據(jù)周期函數(shù)的定義可判斷②的真假，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可求出a的取值范圍，進(jìn)而判斷③的真假，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合有界泛函的定義，可以判斷④的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，

y= x-1 x+1 y=x

，易得該方程組無解，
則函數(shù)f（x）=

x-1

x+1

與g（x）=x的圖象沒有公共點，故①正確；
定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x-1），
則f（x+3）=-f（x），f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
所以f（x）的周期為6，故②正確；
若對于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，
令f（x）=x²-ax+2，則f（1）＜0且f（3）＜0，
解得a＞

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3

，故③正確；
當(dāng)x＞0時，不存在正常數(shù)M使|x²+1|=x²+1≤M|x|=Mx恒成立，故④錯誤；
故答案為：①②③．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)的周期性，函數(shù)恒成立問題，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)及不等式與對應(yīng)函數(shù)之間的辯證關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．