Question

17．某學(xué)校高三年級800名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)�部�?2秒到17秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[12，13），第二組[13，14），…，第五組[16，17]，如圖是根據(jù)上述分組得到的頻率分布直方圖．
（1）若成績小于13秒被認(rèn)為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)；
（2）請估計本年級800名學(xué)生中，成績屬于第三組的人數(shù)；
（3）若樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，現(xiàn)從第一、第五組中各抽取2名學(xué)生組成一個實驗組，設(shè)其中男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 ．（1）由頻率分布直方圖，得成績小于13秒的頻率為0.06，由此能求出該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)．
（2）由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38，由此能估計本年級800名學(xué)生中，成績屬于第三組的人數(shù)．
（2）由頻率分布直方圖及題設(shè)條件得到第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生，由此得ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，從而能求出ξ的分布列和期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得成績小于13秒的頻率為0.06，
∴該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)為：
0.06×50=3（人）．
（2）由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38，
∴估計本年級800名學(xué)生中，成績屬于第三組的人數(shù)為：
800×0.38=304（人）．
（2）由頻率分布直方圖，得第一組的頻率為0.06，第五組的頻率為0.08，
∴第一組有50×0.06=3人，第五組有50×0.08=4人，
∵樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，
∴第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生，
現(xiàn)從第一、第五組中各抽取2名學(xué)生組成一個實驗組，設(shè)其中男生人數(shù)為ξ，
則ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{3}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}+\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{3}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

Eξ=$1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}$=$\frac{11}{6}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)和等可能事件概率計算公式的合理運用．