設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=
an
2
+
1
an
,(n∈N*).
(Ⅰ)若a1
2
,證明:數(shù)列{an}單調(diào)遞減;
(Ⅱ)若a1=2,證明:
2
an
2
+
1
n
考點(diǎn):數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(I)由a1
2
,可得an>0,當(dāng)n≥1時(shí),利用基本不等式的性質(zhì)可得an+1=
an
2
+
1
an
2
,(n∈N*).可得對(duì)一切n∈N*,都有an
2
.再證明an+1-an<0即可.
(Ⅱ)由a1=2>
2
,由(Ⅰ)中可知an
2
. 用數(shù)學(xué)歸納法證明an
2
+
1
n
即可.
解答: 證明:(Ⅰ)∵a1
2
,∴an>0,
當(dāng)n≥1時(shí),an+1=
an
2
+
1
an
>2
an
2
1
an
=
2

∴對(duì)一切n∈N*,都有an
2

an+1-an=
1
an
-
an
2
=
2-
a
2
n
2an
<0
,
∴數(shù)列{an}單調(diào)遞減.
(Ⅱ)∵a1=2>
2
,由(Ⅰ)中可知an
2
.  
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an
2
+
1
n

①當(dāng)n=1時(shí),a1=2<
2
+
1
n
顯然成立.
②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),命題成立,即ak
2
+
1
k
成立.
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
ak+1=
ak
2
+
1
ak
2
+
1
k
2
+
1
2
=
2
+
1
2k
2
+
1
k+1

∴當(dāng)n=k+1時(shí),上述命題也成立
綜合①②可得對(duì)于任意n∈N*,有an
2
+
1
n

因此,
2
an
2
+
1
n
點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4).
(1)求sin(α+
π
4
)的值;
(2)若P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,求
OP
OQ
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(an,Sn)在y=
1
6
-
1
3
x的圖象上(n∈N*),
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若c1=0,且對(duì)任意正整數(shù)n都有cn+1-cn=log
1
2
an
,求證:對(duì)任意正整數(shù)n≥2,總有
1
3
1
c2
+
1
c3
+
1
c4
+…+
1
cn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)y=
4x-1
2x
的圖象( 。
A、關(guān)于直線y=-x對(duì)稱
B、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C、關(guān)于y軸對(duì)稱
D、關(guān)于直線y=x對(duì)稱

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若y=a-bsinx的最大值為
3
2
,最小值為-
1
2
,求y=2asinx+b的最值.

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四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,頂點(diǎn)S在底面的射影為正方形的中心O,且SO=4,E是邊BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在四棱錐的表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持PE⊥AC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為( 。
A、7
2
B、6
2
C、4
2
D、
2

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