設(shè)數(shù)列{a
n}滿足
an+1=+,(n∈N
*).
(Ⅰ)若
a1>,證明:數(shù)列{a
n}單調(diào)遞減;
(Ⅱ)若a
1=2,證明:
<an<+.
考點(diǎn):數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(I)由
a1>,可得a
n>0,當(dāng)n≥1時(shí),利用基本不等式的性質(zhì)可得
an+1=+>,(n∈N
*).可得對(duì)一切n∈N
*,都有
an>.再證明a
n+1-a
n<0即可.
(Ⅱ)由
a1=2>,由(Ⅰ)中可知
an>. 用數(shù)學(xué)歸納法證明
an<+即可.
解答:
證明:(Ⅰ)∵
a1>,∴a
n>0,
當(dāng)n≥1時(shí),
an+1=+>2=.
∴對(duì)一切n∈N
*,都有
an>.
∵
an+1-an=-=<0,
∴數(shù)列{a
n}單調(diào)遞減.
(Ⅱ)∵
a1=2>,由(Ⅰ)中可知
an>.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
an<+①當(dāng)n=1時(shí),
a1=2<+顯然成立.
②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),命題成立,即
ak<+成立.
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
有
ak+1=+<+=+≤+∴當(dāng)n=k+1時(shí),上述命題也成立
綜合①②可得對(duì)于任意n∈N
*,有
an<+.
因此,
<an<+.
點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
如果α、β是關(guān)于x的方程lg(3x)lg(5x)=1的兩個(gè)實(shí)根,求αβ的積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( 。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4).
(1)求sin(α+
)的值;
(2)若P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,求
•
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
若數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和為S
n,點(diǎn)(a
n,S
n)在y=
-x的圖象上(n∈N
*),
(Ⅰ)求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若c
1=0,且對(duì)任意正整數(shù)n都有
cn+1-cn=logan,求證:對(duì)任意正整數(shù)n≥2,總有
≤+++…+<.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
A、關(guān)于直線y=-x對(duì)稱 |
B、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 |
C、關(guān)于y軸對(duì)稱 |
D、關(guān)于直線y=x對(duì)稱 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
若y=a-bsinx的最大值為
,最小值為-
,求y=2asinx+b的最值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,頂點(diǎn)S在底面的射影為正方形的中心O,且SO=4,E是邊BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在四棱錐的表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持PE⊥AC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為( 。
查看答案和解析>>