Question

已知橢圓的離心率，短軸長為2．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），是橢圓上的兩點，向量，，且，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用離心率，短軸長為2求出a，b，c即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=kx+b，聯(lián)立直線方程和橢圓的方程整理后求出A，B的坐標與k，b的關系；再結合求出對應結論，代入△AOB的面積計算公式，整理后即可得出結論．
解答：解：（Ⅰ）由題意知：2b=2，b=1，
則a=2，所以橢圓的方程為
（Ⅱ）因為x₁≠x₂，設直線AB的方程為y=kx+b
，
則△=4k²b²-4（k²+4）（b²-4）＞0且，
∵
∴4x₁x₂+y₁y₂=0即4x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=0
代入整理得：2b²-k²=4
∴=

∴△AOB的面積為定值1
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題以及向量知識的運用．本題是圓錐曲線題目中的�？碱}，解決第二問的關鍵在于把直線方程和橢圓的方程利用其對應結論，這也是這一類題目的常用做法．