Question

（2012•瀘州模擬）在數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項和，a1=1，an+1=3Sn(n≥1，n∈N*)．
（I）求證：a₂，a₃，a₄，…，a_n為等比數(shù)列；
（II）設b_n=na_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n的值．

Answer 1

分析：（I）這是一道典型的含有a_n+1，S_n的遞推公式來求通項公式的題目，利用公式an=

s1，n=1 sn-sn-1

，n≥2，本題是先求出S_n，再由S_n求出a_n，要注意對n=1和n≥2進行討論．最后證明從第二項開始是等比數(shù)列；
（II）求出b_n，據(jù)其特點是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構成，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和．

解答：解：（I）由已知，a₁=1，a_n+1=3S_n=S_n+1-S_n得4S_n=S_n+1，
所以

Sn+1

Sn

=4，即{S_n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以S_n=1×4^n-1=4^n-1，
又由公式an=

s1，n=1 sn-sn-1

，n≥2，
得到a_n=

1，n=1 4n-1-4n-2=3•4n-2，n≥2

．
故當n≥2時，

an+1

an

=

3•4n-1

3•4n-2

=4，
∴a₂，a₃，a₄，…，a_n為等比數(shù)列．
（II）∵b_n=na_n=

1，n=1 3n•4n-2，n≥2

，
∴當n=1時，T_n=1；
∴當n≥2時，
T_n=1+6×4⁰+9×4¹+…+3n×4^n-2
∴4T_n=4+6×4¹+9×4²+…+3n×4^n-1，
兩式相減得-3T_n=3+3•4¹+3•4²+…+3•4^n-2-3n×4^n-1
∴T_n=

1

3

[（3n-1）×4^n-1+1]，
又當n=1時，T₁=1也適合上式，
故T_n=

1

3

[（3n-1）×4^n-1+1]，（n∈N^*）．

點評：本題屬于基礎題目，運算上較為容易，另外需注意求出S_n之后，只要注意討論n=1和n≥2的情形，進一步求出{a_n}的通項公式，用到的思想方法是分段討論法．（II）求數(shù)列的前n項和，首先求出數(shù)列的通項，根據(jù)數(shù)列通項的特點，選擇合適的求和方法．