(2012•安徽)如圖,點F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左右焦點,經(jīng)過F1做x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P,過點F2作直線PF2垂線交直線x=
a2
c
于點Q.
(Ⅰ)如果點Q的坐標是(4,4),求此時橢圓C的方程;
(Ⅱ)證明:直線PQ與橢圓C只有一個交點.
分析:(Ⅰ)將點P(-c,y1)(y1>0)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1
,可求得P(-c,
b2
a
)
,根據(jù)點Q的坐標是(4,4),PF1⊥QF2,即可求得橢圓C的方程;
(Ⅱ)利用PF1⊥QF2,求得Q(
a2
c
,2a )
,從而可求kPQ=
2a-
b2
a
a2+c
c
=
c
a
,又y=
b2-
b2
a2
x2
,求導(dǎo)函數(shù),可得x=-c時,y′=
-
b2
a2
x
b2-
b2
a2
x2
=
c
a
,故可知直線PQ與橢圓C只有一個交點.
解答:(Ⅰ)解:將點P(-c,y1)(y1>0)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1
y1=
b2
a

∴P(-c,
b2
a
)

∵點Q的坐標是(4,4),PF2⊥QF2
b2
a
-0
-c-c
×
4-0
4-c
=-1

a2
c
=4,c2=a2-b2

∴a=2,c=1,b=
3

∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
;
(Ⅱ)證明:設(shè)Q(
a2
c
,y2)
,∵PF2⊥QF2
b2
a
-0
-c-c
×
y2-0
a2
c
-c
=-1

∴y2=2a
Q(
a2
c
,2a )

∵P(-c,
b2
a
)
,∴kPQ=
2a-
b2
a
a2+c2
c
=
c
a

x2
a2
+
y2
b2
=1
,∴y=
b2-
b2
a2
x2

∴y′=
-
b2
a2
x
b2-
b2
a2
x2

∴當(dāng)x=-c時,y′=
-
b2
a2
x
b2-
b2
a2
x2
=
c
a

∴直線PQ與橢圓C只有一個交點.
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,綜合性強.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽)如圖,F(xiàn)1、F2分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點,A是橢圓C的頂點,B是直線AF2與橢圓C的另一個交點,∠F1AF2=60°.
(Ⅰ)求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)已知△AF1B的面積為40
3
,求a,b 的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽)如圖所示,程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1 中,底面A1B1C1D1 是正方形,O是BD的中點,E是棱AA1上任意一點.
(Ⅰ)證明:BD⊥EC1;
(Ⅱ)如果AB=2,AE=
2
,OE⊥EC1,求AA1的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

 [2012·安徽卷] 如圖1-3,長方體ABCDA1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,OBD的中點,E是棱AA1上任意一點.

(1)證明:BDEC1;

(2)如果AB=2,AE,OEEC1,求AA1的長.

圖1-3

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同步練習(xí)冊答案