Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x，且f（0）=7，x=1是它的極值點．
（1）求f（x）的表達式；
（2）試確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（0）=7，∴b=7．
又f′（x）=[x²+（2+a）x+a+b]e^x，x=1是f（x）的極值點，
∴f′（1）=0，即（10+2a）e=0，∴a=-5，
∴f（x）=（x²-5x+7）e^x；
（2）∵f′（x）=（x²-3x+2）e^x=（x-1）（x-2）e^x
令f′（x）＞0得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0得1＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1）和（2，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，2）；
（3）由（2）知f（x）_最大=f（1）=3e，f（x）_最小=f（2）=e²．
若g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3個零點，則只需y=f（x）與y=m的圖象有三個交點．
由于f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增，且f（-1）=＜f（2），
故只要f（x）_最小＜m＜f（x）_最大，∴e²＜m＜3e．
故當e²＜m＜3e時，g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3個零點．
分析：（1）把x等于0代入函數(shù)解析式讓其等于7即可解出b的值，然后求f（x）的導函數(shù)，因為x等于1是函數(shù)的極值點，所以把x等于1代入到到函數(shù)中即可求出a的值，把a的值和b的值代入到f（x）中得到f（x）的解析式；
（2）把a與b代入到函數(shù)的導函數(shù)中，分解因式后，令導函數(shù)大于0解出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導函數(shù)小于0解出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；
（3）根據(jù)（2）得到的函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值和最小值，若g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3個零點，則只需y=f（x）與y=m的圖象有三個交點，即要m大于函數(shù)的最小值，小于函數(shù)的最大值，即可求出符合題意m的范圍．
點評：此題考查學生會根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，掌握函數(shù)的零點與方程交點的關(guān)系，是一道中檔題．