已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A(1，
1
2
)．（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過(guò)原點(diǎn)O且斜率為k（k＜0）的直線l交橢圓于點(diǎn)B，C，求△ABC面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．
分析：（Ⅰ）由左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），得到橢圓的半長(zhǎng)軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上求得方程．
（II）設(shè)該直線方程為y=kx，代入橢圓方程，求得B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得弦長(zhǎng)|BC|，再求原點(diǎn)到直線的距離，從而可得三角形面積模型，再用基本不等式求其最值．
解答：解：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2，半焦距c=
3
，則半短軸b=1．
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1
 （II）設(shè)該直線方程為y=kx，代入
x2
4
+y2=1
解得B（
2
4k2+1
，
2k
4k2+1
），C（ -
2
4k2+1
，-
2k
4k2+1
），
則 |BC|=4
1+k2
1+4k2
，又點(diǎn)A到直線BC的距離d=
|k-
1
2
|
1+k2
，
∴△ABC的面積S△ABC=
1
2
|AB|•d=
|2k-1|
1+4k2

于是S△ABC=
4k2-4k+1
4k2+1
=
1-
4k
4k2+1

由
4k
4k2+1
≥-1，得S△ABC≤
2
，其中，當(dāng)k=-
1
2
時(shí)，等號(hào)成立．
∴S△ABC的最大值是
2
．直線方程為y=-
1
2
x
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，求三角形面積的最值，關(guān)鍵是構(gòu)建模型，利用基本不等式求解．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運(yùn)動(dòng)．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線C上移動(dòng)，試求△ABM面積的最大值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，且過(guò)點(diǎn)D（2，0）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A(1，
1
2
)，若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ為參數(shù)），以ox為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
6
)=0，則圓C截直線l所得的弦長(zhǎng)為
4
2
4
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足條件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，則z=
OM
•
OC
的最大值為（　　）
A、-1B、0C、3D、4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過(guò)原點(diǎn)O并且交橢圓于點(diǎn)B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫(xiě)出l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案