Question

31、平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無(wú)三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成n²+n+2個(gè)部分．

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，1個(gè)圓將平面分成幾部分，第二步，先假設(shè)當(dāng)k個(gè)圓將平面分成k²-k+2個(gè)部分，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答：證明：（1）n=1時(shí)，1個(gè)圓將平面分成2部分，顯然命題成立．
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，k個(gè)圓將平面分成k²-k+2個(gè)部分．
當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓C_k+1交前面2k個(gè)點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓C_k+1分成2k段，
每段各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個(gè)區(qū)域，
所以這k+1個(gè)圓將平面分成k²-k+2+2k個(gè)部分，即（k+1）²-（k+1）+2個(gè)部分．
故n=k+1時(shí)，命題成立．由（1）、（2）可知，對(duì)任意n∈N^*命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式
設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若
1°P（n₀）成立（奠基）
2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立