Question

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出兩曲線的公共點坐標(biāo)，求出兩曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，由兩曲線在該點處的切線相同，所以把公共點的橫坐標(biāo)分別代入兩曲線方程得到縱坐標(biāo)相同且分別代入到導(dǎo)函數(shù)中的函數(shù)值也相等，聯(lián)立消去公共點的橫坐標(biāo)得到a與b的關(guān)系式，令b=h（t），自變量t=a，得到一個關(guān)于t的函數(shù)，求出h（t）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出t的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出t的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值點，把求得的極大值點代入h（t）中即可求出b的最大值；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入到F（x）=f（x）-g（x）中得到F（x）的解析式，求出F′（x），根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域可知x大于0，由題意可知a大于0，所以分x大于a和x小于a大于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到a為函數(shù)的極小值點，把x等于a代入到F（x）中即可求出極小值，且該函數(shù)無極大值點．
解答：解：（1）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x，y）處的切線相同．
∵f′（x）=x+2a，g′（x）=，由題意f（x）=g（x），f′（x）=g′（x）
即，
由x+2a=得：x²+2ax-3a²=0，即（x-a）（x+3a）=0，解得x=a或x=-3a（舍去）．
即有b=a²+2a²-3a²lna=a²-3a²lna，
令h（t）=t²-3t²lnt（t＞0），則h′（t）=5t-6tlnt-3t=2t（1-3lnt），于是
當(dāng)t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜時，h′（t）＞0；
當(dāng)t（1-3lnt）＜0，即t＞時，h′（t）＜0，
故h（t）在（0，）上為增函數(shù)，在（，+∞）上為減函數(shù)，
則h（t）在（0，+∞）的最大值為h（）=-3ln=；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=，
則F′（x）=x+2α-=（x＞0）．
故F（x）在（0，α）為減函數(shù)，在（α，+∞）為增函數(shù)，
于是函數(shù)F（X）在x=a時有極小值F（α），F(xiàn)（X）=f（x）-g（x）=0無極大值．
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．