已知C點在⊙O直徑BE的延長線上，CA與⊙O切于A點，∠ACB的平分線CD交AE于點F，交AB于點D．
（1）求證：AD=AF；
（2）若AB=AC，求
ACBC
的值．
分析：（1）利用等角對等邊，即可得到結(jié)論；
（2）先證明△BCA∽△ACE，再確定∠CAE=∠B=∠ACB=30°，即可得到結(jié)論．
解答：（1）證明：∵CA與⊙O切于A點，∴∠CAE=∠E，
又∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠DCB，…（2分）
∴∠ADF=∠B+∠DCB=∠CAE+∠ACD=∠AFD，…（4分）
∴AD=AF；         …（5分）
（2）解：∵AB=AC，∴∠CAE=∠B=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ACB，…（6分）
∴△BCA∽△ACE，∴
AC
BC
=
AE
AB
，…（9分）
又∵180°=∠ACE+∠CAE+∠AEC=∠ACE+∠CAE+（90°+∠ABE），
∴∠CAE=∠B=∠ACB=30°，
∴
AC
BC
=
AE
AB
=
3
3
．…（12分）
點評：本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形的相似，解題的關(guān)鍵是確定角的相等關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選講） 若f（x）=|x-t|+|5-x|的最小值為3，則實數(shù)t的值是
 
．
B．（平面幾何選講） 已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是∠ACB的平分線交AE于點F，交AB于D點．∠ADF=
 
．
C．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程） 直線
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)）被曲線ρ=
2
cos(θ-
π
4
)所截的弦長為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖2-4-19,已知C點在⊙O直徑BE的延長線上,CA切⊙O于A點,∠BAC的平分線交AE于F點,∠BCA的平分線交AB于D點.

圖2-4-19

(1)求∠ADF的度數(shù).

(2)若∠ACB的度數(shù)為y度,∠B的度數(shù)為x度,那么y與x之間有怎樣的關(guān)系？試寫出你的猜測并給出證明.

(3)若AB =AC,求AC∶BC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖2-4-13，已知C點在⊙O直徑BE的延長線上，CA切⊙O于A點，∠ACB的平分線CD交AE于F點，交AB于D點.

圖2-4-13

(1)求∠ADF的度數(shù).

(2)若∠ACB的度數(shù)為y度，∠B的度數(shù)為x度，那么y與x之間有怎樣的關(guān)系？試寫出你的猜測并給出證明.

(3)若AB=AC，求AC∶BC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年陜西省西安中學(xué)高考數(shù)學(xué)第十三次模擬試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選講） 若f（x）=|x-t|+|5-x|的最小值為3，則實數(shù)t的值是    ．
B．（平面幾何選講） 已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是∠ACB的平分線交AE于點F，交AB于D點．∠ADF=    ．
C．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程） 直線（t為參數(shù)）被曲線所截的弦長為    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年陜西省西安中學(xué)高考數(shù)學(xué)第十三次模擬試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選講） 若f（x）=|x-t|+|5-x|的最小值為3，則實數(shù)t的值是    ．
B．（平面幾何選講） 已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是∠ACB的平分線交AE于點F，交AB于D點．∠ADF=    ．
C．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程） 直線（t為參數(shù)）被曲線所截的弦長為    ．

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