Question

 

已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁，在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知

   （I）求證：AC₁⊥平面A₁BC；

   （II）求CC₁到平面A₁AB的距離；

   （理）（III）求二面角A—A₁B—C的大小

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）因為A₁D⊥平面ABC，

所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，   …………1分

又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，

得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁   …………2分

所以AC₁⊥平面A₁BC； …………3分

   （II）因為AC₁⊥A₁C，所以四邊形AA₁C₁C為菱形，

故AA₁=AC=2，又D為AC中點，知  …………4分

取AA₁中點F，則AA₁⊥平面BCF，從而平面A₁AB⊥平面BCF，…………6分

過C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A₁AB，

在    …………7分

即CC₁到平面A₁AB的距離為   …………8分

   （III）過H作HG⊥A₁B于G，連CG，則CG⊥A₁B，

從而為二面角A—A₁B—C的平面角， …………9分

在

在中， …………11分

故二面角A—A₁B—C的大小為   …………12分